Hayatınızın belli bir döneminde matematik sınavında iki şık arasında kaldığınız illaki olmuştur. Bu soru ilk ortaya çıktığında cevabının 1/2 olduğu savunulsa da daha sonra cevabın 1/3 olduğu fikri ortaya atıldı. Bu ‘cevapsızlık’ ise hâlâ devam ediyor. Yani sınavlarda birden fazla cevap arasında kalmak her zaman yanlışı doğurmuyor.
Soruya baktığınızda belki siz de cevap için ikiye bölünmüş olacaksınız. Bu sebeple en baştan doğru cevabı size sunamadığımızı belirtmekte fayda var. Şimdi soruya geçelim.
Uyuyan Güzel Problemi olarak karşımıza çıkan bu problemde bir ‘uyuyan güzel’ olacak.
Bu problem, çıkan farklı sonuçlardan dolayı matematikçileri birbirine düşürmüş durumda. Daha da ilginci ise bu konuyla ilgili yapılmış 100’den fazla çalışma olmasının yanında bu çalışmalar arasında hangi çözümün doğru olduğunu bizlere vermiyor.
Temelde bir olasılık sorusu olan problem, bir düşünce deneyinden ibaret aslında. Bu konuyu açıklığa kavuşturmak için araştırmacılar bu deneyi bir kişinin üzerinde denemeye karar verdiler. Deneyin adının uyuyan güzel olmasının sebebi de deneğin uyutulup uyandırılmasıyla ilişkili.
Deney kapsamında, uyuyan kişiye pazar günü bir uyku ilacı veriliyor ve uykuya dalması sağlanıyor.
Deney hakkında önceden bilgi sahibi olan denek uyutulur. Çalışmayı yürütenler yazı tura atar ve tura gelirse; pazartesi günü, uyuyan kişiyi uyandırırlar. Ve bu kişiye paranın tura gelme ihtimalini sorarlar. Ancak yazı gelirse de pazartesi günü bu kişiyi uyandırırlar.
Daha sonra bu kişiye başka bir uyku hapı vererek tekrar uyumasını sağlarlar. Salı günü tekrar uyandırılan bu kişiye soruyu bir kez daha sorarlar. Deney bu şekilde sona erer. Bu süreçte uyuyan kişi, uyku ilacının etkisiyle daha önce uyandırılıp uyandırılmadığını ayırt edemez.
Siz de kendinizi bu kişinin yerine koyun: Böyle bir deneye tabi tutulduğunuzu ve deney kapsamında size bazı sorular sorulacağını biliyorsunuz.
Ancak uyandığınızda hangi gün olduğunu ya da daha önce uyandırılıp uyandırılmadığınızı bilmiyorsunuz. Sezgisel olarak verilecek cevap genellikle 1/2 olacaktır. Çünkü madenî parayla atılan yazı turada tura gelme olasılığı her durumda 1/2’dir.
Uyuyan kişi uyandığında, günün pazartesi ya da salı olup olmadığını bilemez; ancak madenî paranın durumu bu gerçeği etkilemez. Hangi gün uyanırsa uyansın, sonuç her zaman aynı olacaktır.
Bu problemi düşündüğümüzde, üç farklı senaryo ortaya çıkıyor. Pazartesi günü tura geldiğinde uyandırılacak, aynı şekilde pazartesi günü yazı geldiğinde yine uyandırılacak ve salı günü yazı geldiği zaman da uyandırılacaktır.
Peki, her bir olay için olasılıklar nelerdir?
Koşullu olasılıklar hesaplamasına göre üç durum da eşittir. Bunu bilim felsefecisi Adam Elga’nın formülü ile açıklamak istiyoruz: Bugün pazartesi (M) olsun. P de olasılık anlamına geliyor.
Pazartesi/tura (M, T) ve pazartesi/yazı (M, Y) durumları için olasılıklar tartışmasız eşittir: P (M, T) = P (M, Y) = 1/2. Aynı şekilde, uyuyan kişi uyanıp yazı geldiğini öğrenirse, o gün pazartesi veya salı olmalıdır. Bu durumda da P (M, Y) = P (T, Y) = 1/2 olur. Bu eşitlikleri birleştirirsek geçişme özelliği sayesinde P (M, Y) = P(M, T) = P(T, Y) üçlü eşitliğini elde ederiz. Toplam olasılıkların 1 olduğu göz önüne alındığında, her bir değer 1/3’tür.
Kafanızın karıştığını biliyoruz. Endişelenmeyin, biz de çözerken zorlandık.
Başlangıçta 1/2 olarak düşündüğünüz sonuç hakkındaki düşünceleriniz değişmiş olabilir, belki bir miktar şüpheye düşmüşsünüzdür.
Cevabın 1/2 olduğunu savunanlar, deney sayısını temel alırken 1/3 diyenler uyuyan kişinin uyanma sayısını göz önüne alıyor. 1/2’yi savunanlar, deneyi yapanın bakış açısından yaklaşırken 1/3’ü savunanlar ise uyuyan kişinin bakış açısından hesaplamalar yapıyor. Yani matematik, her zaman nesnel cevaplar vermiyor. Vereceğiniz cevap biraz da sizin duygularınızla, ön yargılarınızla ilgili olabiliyor.
Sonuç olarak problem tek bir çözüme sahipmiş gibi gözükse de iki sonucu olması herkesi şaşırtan bir probleme dönüşmüş durumda. Peki siz cevabı ne buldunuz?
Problemlerle ilgili diğer içeriklerimiz:
